Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at

2, 4

$2, 4$ a

0

$0$ .

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Étape 2.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at

2, 4

$2, 4$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ to make the entry at

1, 4

$1, 4$ a

0

$0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ to make the entry at

1, 4

$1, 4$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 4 \cdot 0 & 2 - 4 \cdot 0 & 3 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 2 - 4 \cdot 0 & 3 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{3} = 0$

$x_{2} + 2 x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

Étape 4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{3} \\ - 2 x_{3} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Étape 5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Étape 6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$